Ada Cara Baru Menghitung Bilangan Prima

Tapi itu tidak terlihat jelas. Mereka harus menganalisis sekumpulan fungsi khusus, yang disebut penjumlahan Tipe I dan Tipe II, untuk setiap versi masalahnya, lalu menunjukkan bahwa penjumlahan tersebut ekuivalen, apa pun batasan yang mereka gunakan. Hanya dengan cara itulah Green dan Sawhney akan mengetahui bahwa mereka dapat mengganti bilangan prima kasar ke dalam pembuktiannya tanpa kehilangan informasi.

Mereka segera menyadari: Mereka dapat menunjukkan bahwa jumlah tersebut setara dengan menggunakan alat yang masing-masing telah mereka temui secara independen dalam pekerjaan sebelumnya. Alat tersebut, yang dikenal sebagai norma Gowers, dikembangkan beberapa dekade sebelumnya oleh ahli matematika Timothy Gowers untuk mengukur seberapa acak atau terstruktur suatu fungsi atau kumpulan angka. Secara sepintas, norma Gowers sepertinya berasal dari bidang matematika yang sama sekali berbeda. “Hampir tidak mungkin bagi orang luar untuk mengatakan bahwa hal-hal ini ada kaitannya,” kata Sawhney.

Namun dengan menggunakan hasil penting yang dibuktikan pada tahun 2018 oleh ahli matematika Terence Tao dan Tamar Ziegler, Green dan Sawhney menemukan cara untuk membuat hubungan antara norma Gower dan penjumlahan Tipe I dan II. Pada dasarnya, mereka perlu menggunakan norma Gowers untuk menunjukkan bahwa dua himpunan bilangan prima mereka—himpunan yang dibuat menggunakan bilangan prima kasar, dan himpunan yang dibuat menggunakan bilangan prima nyata—cukup mirip.

Ternyata, Sawhney tahu cara melakukan ini. Awal tahun ini, untuk memecahkan masalah yang tidak berhubungan, dia telah mengembangkan teknik untuk membandingkan himpunan menggunakan norma Gower. Yang mengejutkannya, teknik tersebut cukup bagus untuk menunjukkan bahwa kedua set tersebut memiliki jumlah Tipe I dan II yang sama.

Dengan ini, Green dan Sawhney membuktikan dugaan Friedlander dan Iwaniec: Ada banyak sekali bilangan prima yang dapat ditulis sebagai P² + 4Q². Pada akhirnya, mereka mampu memperluas hasil mereka untuk membuktikan bahwa ada banyak sekali bilangan prima yang termasuk dalam jenis keluarga lain juga. Hasilnya menandai terobosan signifikan terhadap suatu jenis permasalahan yang kemajuannya biasanya sangat jarang terjadi.

Yang lebih penting lagi, penelitian ini menunjukkan bahwa norma Gowers dapat menjadi alat yang ampuh dalam ranah baru. “Karena ini sangat baru, setidaknya dalam teori bilangan ini, ada potensi untuk melakukan banyak hal lain dengannya,” kata Friedlander. Para matematikawan kini berharap untuk memperluas cakupan norma Gowers lebih jauh lagi—untuk mencoba menggunakannya untuk memecahkan permasalahan lain dalam teori bilangan selain penghitungan bilangan prima.

“Sangat menyenangkan bagi saya melihat hal-hal yang saya pikirkan beberapa waktu lalu ternyata memiliki penerapan baru yang tidak terduga,” kata Ziegler. “Ini seperti sebagai orang tua, ketika Anda membebaskan anak Anda dan mereka tumbuh dan melakukan hal-hal misterius dan tidak terduga.”

Cerita asli dicetak ulang dengan izin dari Majalah Quanta, sebuah publikasi editorial independen dari Yayasan Simons yang misinya adalah untuk meningkatkan pemahaman masyarakat terhadap sains dengan meliput perkembangan dan tren penelitian di bidang matematika serta ilmu fisika dan kehidupan.